De gelukkige panda~ :D

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链接描述（anchor）与搜索引擎

最近发生了一件有趣的事情，这里转载一篇文章，普及一下搜索引擎的知识。

转自http://www.solaryf.com/article.asp?id=504

 

“天极下载”罗生门

[ 2006-09-08 19:32:26 | 作者: 博清沉 ]

 

每个人都看到了一些东西，然而又都掩盖了一些东西。喧嚣吵闹中，
看客们津津乐道于互联网龙头企业与一个没落的IT资讯网站的肉搏
推搡，而真相到底如何，却少有人去关注了。

搜索引擎知识普及：网页在搜索引擎中的权值计算规则

在Google出来以前，搜索引擎只按照内容进行权值计算。其衡量标
准，大约就是关键词的位置、密度等要素。Google则扛起了Pagerank
的大旗，把网页之间的互相链接，当作权值计算的一个重要因素。

网页的链接，最根本的有两个要素，一个是数量，一个是链接描述。
数量越多，当然这个网页的权威性就越高，越可信赖；而链接描述，
则相当于是外人对该网页的一个内容概括，而且由于不受站长的约
束，而受到搜索引擎的信赖。

在互联网的早期，Google的这种算法效果非常好。因为大家都很纯
洁，几乎没人滥用超链接。但是，很快的，这种策略便开始被人钻
空子。SEO这个行当，应运而生。Link Farm就是早期对超链算法的
一个挑战。而恶搞天才们也开始利用这个策略搞出一些为普通网络
用户广为传播的游戏。比较有名的就是“the failure”：

在Google搜 the failure

第一个结果是：

Biography of President George W. Bush
Biography of the 43rd President of the United States.
www.whitehouse.gov/president/gwbbio.html - 19k - 网页快照 - 类似网页

如果直接按手气不错，也是这个结果。手气不错，是对某些排序第一
的确切结果的提炼。

乔治布什贵为美国总统，当然不是the failure。该页面上也丝毫没有
failure的字样。但是，恶搞者为该页面制造了大量外链，并且链接描
述都是“the failure”，于是，搜索引擎就认为，乔治布什就是失败者。

促成这样的结果，有两个要素：

1，超链算法固有的缺陷
2，对超链算法缺陷的利用

天极下载罗生门解析

我在把话头回到“天极下载”事件。事情起因很简单，在百度搜索“天
极下载”，排第二的是天空网的一个软件下载页面。

天极网，这个一直期望能到纳斯达克上市、对流量的敏感度高于一
切的IT门户，对此耿耿于怀，认为百度在故意的把天极下载的流量，
导到百度所属的天空网上。

这从逻辑上是件很搞笑的事情。

只要会上网的人，都知道天空网的下载，和天极网的下载，两者是
什么样的级别差异。到处都有天空网的盗链站，但有天极网的盗链
站么？哪怕真要盗，也会盗华军，干嘛盗一个名不见经传的小卒子？

这个冷笑话，很快就被人揭穿了底细。

有人发现，天空网的这个软件下载页面，大部分的外链，其描述就是
“天极下载频道”；然后再追溯一下，又惊奇的发现，这些错误的制造
者，居然就是天极网自己。

这是怎么回事呢？让我们追溯一下。

原来，早在2004年的时候，天极网还没有下载频道。但是，播报软
件新闻，能提供下载是最好的。于是天极网就利用了天空网的下载。
但问题在于，明明是天空网的软件下载，天极网偏偏用了“天极下载
频道”这样的链接描述。

天空网是天极网的一个下载频道，这是2004年时候的一个事情。我
不知道这个事情是否有过协议签署。但我估计没有。因为2004年的
天空网还很土瘪，2004年的天极网还很牛逼。一个牛逼的网站，大
笔一挥，把一个土瘪的网站变成自己的频道，这是一种仁慈的恩赐，
而不是一种卑劣的强盗行径。

时光如水，一晃过去了两年多。互联网形势发生了变化。土瘪的天
空网忽然变得很吃香，而牛逼的天极网，则嚷嚷了多少年，仍然距
离纳斯达克十万八千里。

流量，流量，流量！！

当没有更好的人才，作出更好的内容，以吸引更多的用户的时候，
搜索引擎带来的流量，就变成了网站成败的关键。看下hot.yesky.com
的首页，就知道天极对于流量的渴望，达到了什么程度。这些裸体
女郎，强奸新闻，和IT有关系么？这个要问李志高。

天极渴望流量，站长们也渴望流量。于是，天极网上那些IT新闻，
也被站长们一遍又一遍的搬到自己的小站上。

问题就这样发生了。

2004年，那个小编写下的指向天空网的“天极下载频道”，被广大站
长搬运工朋友放大n倍，于是一个不幸的事情发生了：

搜“天极下载”，出来了天空网的一个软件页面；正如搜索the failure，
乔治布什同志被排在Google的第一位一样。

这就是这个“天极下载”故事的本原。

天极网向用户隐瞒了是他们自己把天空网称作“天极下载频道”的一个事实。
站长们向用户隐瞒了搬运天极网新闻页当作自己内容的一个事实。
百度也没有说明过，搜索引擎超链算法中的固有缺陷。

有人要问，明明是天空网的下载页面，为什么百度搜索结果中的
标题，被改成了“天极下载频道”呢？

这个页面因何而被排上来？是因为大量链接描述是“天极下载频道”。
既然如此，把这个内容抬出来，直接展现给用户，不是更直接？

搜索结果的摘要，从来就不是固定为网页内容的片断截取。在Google
中搜新浪，其摘要也非来自新浪首页。策略是次要的，让用户更容
易的把握页面内容，这是真谛。

这种摘要策略，在一般情况下是有效的；但是，在这种人为的、对
信息肆意扭曲的前提下，策略失败了。这也是百度应该反思的。

罗生门背后的故事

事情本来不复杂，天极没人懂搜索引擎，他们尽可以派个人到百度
去请教一下。但是，天极似乎一开始就来势汹汹，并不以解决问题
达成谅解为初衷。

原因何在？

百度有钱。
百度是棵大树。
百度是中文互联网新贵。

靠着大树好乘凉。谁也不能否认，只要一和百度产生纠纷，你立刻
就能一举成名。没落的IT贵族既然没有堂皇的生财之道，阿Q似的
“我被赵太爷踢了一脚”便也是一种选择。

成长无望，上市渺茫，砸点人气总还是可以的。好容易逮到一个啃百
度的机会，谁也不会放弃。更何况，在中国的几大互联网企业中，
除了百度，谁都不好啃。百度这个苹果，嫩，且多汁。小D啃得，我
阿Q就啃不得？

而且，天空网、华军网、太平洋下载站，似乎都混得不错，mydown.com
作为天极网的属下网站，没有理由混不好。借这个机会，扬名立万，
alexa上波涛汹涌，岂不快哉。

所以，我大胆的猜测，好戏，还有得看。中国的互联网，从来就很少
有人踏踏实实的做事情，而唱戏做秀则司空见惯。作为观众的一员，
我唯一的期望就是，戏，可以唱，但尽量唱得精彩些。我最近胃口不
好，呕吐多了，怕伤脾胃。

天极下载罗生门事件，我就讲述到此。

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我们需要什么样的移动设备
我们需要什么样的移动设备 （我的一点思考）: （随便想想，不成熟，欢迎讨论）。
By: Jicheng Zhao

先问一个问题，现在还有多少人戴传统的手表？还有多少人戴手表是为了看时间？

半年前经过别人推荐看了看microsoft research 的一个报告: towards 2020 science （http://research.microsoft.com/towards2020science/）。
比较长，推荐学习计算机的同学可以读读。

2020也许太久远了，那我们就说说近一些的，五年之后你会有什么样的移动设备？你又想用它来干什么。

先看看现在吧。2006年秋的今天，你出门旅游的时候会带什么电子设备？ 你上班上学路上书包里放了什么样的电子产品？
我们大概罗列一下吧：手机，笔记本，PDA，相机，MP3，移动硬盘，也许还会有录音笔，收音机，鼠标，电子词典，耳机，GPS，当然，如果你希望，还可以有PSP, 摇控器，充电器，DVD, 电视机。对了，我是不是忘了说钱包了。

是的，它们各自都有自己的功能，有些功能还不能被别的产品代替。
但是，你主意到没有，它们中的不少已经在慢慢融合了：
很多主流手机已经可以照相了；
PDA的市场早已被智能手机吞占了不少；
有些手机也有MP3和录音机的功能了；。。。
有些手机也有GPS功能了，

注意到没有，这里的主角是手机。这是因为我们可以一个月不听MP3,可有些人一个小时找不到手机了就会抓狂。

我们再多想一些： 
掌上 PDA 产品太多了， MP3,multimedia播放器产品也太多了；
掌上 notebook有oQo和sony 的产品；
可以通过bluetooth, WIFI, EDGE, GPS, radio, 等等方式通讯。
origame (UMPC) 产品也在推出，移动游戏设备也有不少。
我知道的信息并不多，所列的也不全。那么多的公司和产品，如果罗列下去，还可以罗列好几页。

只是一个产品是不可能包含所有的类型和服务的。我们把这些大概先分一下类：

输入：keyboard, touch board,  pen, voice recognition, etc.
输出：audio, screen, etc.

功能上：
通讯：
communication with your peers： text and files (email, IM ), audio (cellphone), video multimedia (not realistic at present due to the limited bandwidth of mobile devices).

娱乐：

entertainment sololy based on the device: text (ebooks), audio (mp3 player), video and multimedia (dvd player, video
player), games.

client-server based entertainment： audio (radio,  Satellite Radio), video and multimedia (TV), webpage browser (internet).

capture : text(), audio (voice recorder),  static image (camera), video and multimedia (camera).

也许在移动设备上，我们不怎么会考虑大量的计算，但也有些应用很需要。尤其是和移动相关的一些应用。

应用：

application on your device: calender, notes, memo, schedule, etc.

application with the help of a server: GPS;  web based applications such as stock transaction, weather report,

application with the help of your peers: email, phone, IM, and more. [这还并不很多，但如果每一个手机都能连到互联网上，无数新奇的应该将会出现。曾看过的一个应用大概是这样的，你逛街的时候，看中一件产品，你把你的手机在产品条形码上扫描一下，手机通过与服务器交流，告诉你同一产品在附近哪家店最便宜，这个产品用户的反馈如何，类似还有什么产品可以满足你的需求。这样你可以决定你是不是应该买这个产品。]

有个应用，不知道有没有意义。比如说，你到了某个新的城市旅游，如果你的朋友的允许，你的手机会告诉你当前在这个城市有哪些你的朋友距离你最近。这样，他乡遇故知就是一件很简单的事情了。

再比如，你正在开车，你的手机提醒你，因为你现在油箱里只有两三加仑油了，这条路前面大概多远有一个加油站，如果不加油的话，下一个加油站赶不到了。但是也不要加太多油，因为下一个加油站比较便宜。

还有，假期的夜晚，你饿了，闷了，你想吃油条，你的手机说，楼下左拐有卖油条的，不过今天是假期，他们十点关门。张三现在也在家里闲着无聊呢，他想找人杀人，翠花也打算去了，你要去的话现在就可以出发了，但别走二环，现在正堵着呢。在路上，你的手机说，或者前面右拐某个演出也不错，你喜欢的某个明星出场，你的朋友ZH也感兴趣，并且她正在附近逛街，能过来，正巧也有个人有几张票以合理价位要转让，打了个电话，电子票汇到你手机上，你就可以直接去看戏了，你的朋友们也随后就到了。

还可以有不少分类和很多新的应用。也许找到一个好的应用并能找到相应的business model, 这就能有不少商机。

第一个问题是：手机和notebook融合在一起后会是什么样子的？[硬件]

现在问题是，手机可以走多远？当然，因为手机功能有限，它还是代替不了一些专业的摄像机的，甚至用它听MP3你也许都会担心电池很快就没电了。notebook又太重，我们总不可能每天24小时背着个包吧。
那么，要么是手机代替笔记本，要么是笔记本代替手机，要么是一种新的设备代替它们所有，要么，它们都还在，但都是不是原来的它们了。 这不是我所关心的。

我们分别简单得分一下类。当然，这种分类和体系结构和操作系统上的分类不太一样。

首先是大小，当然，太大了难免会笨重，除了锻练身体外，不适合移动。太小了必然不能有太大的显示器和输入设备，太小了内存外存以及各种外设的成本必然会涨一些。
好的，我们假设我们有了这么样一个设备，大小适中，电池足够用，存储足够大，运算能力可以，也不贵。


第二个问题是：假设我们现在有了这样一个设备，你想要什么样的功能呢？[软件]

以后我们的设备需要什么？网络，网络，还是网络。这话是一个大牛说的。我想他说的应该是对的。
设备是什么也许并不是关键，设备更够提供给我们的服务才是关键。关于它能提供的服务，它所需要的软件，以后慢慢想，慢慢说了。

当然，要有网络，网络的功能有如下几点：Communication, Collaboration and Coordination。

先考虑考虑上面已有的一些产品吧。 手机，笔记本，PDA，相机，MP3，移动硬盘，录音笔，收音机，鼠标，电子词典，耳机，GPS，PSP, 摇控器，充电器，DVD, 电视机, 钱包，身份证。

那些可取，那些可舍，也许以后用户会告诉商家该做什么样的产品。

现在，我们可以想想5年后我们需要移动设备给我们提供什么样的应用。 当然，我还没想明白，如果我想明白了就不会现在还在实验室敲这一篇文章了。

collaboration!!! 这就是本文的重点。如何能写一个软件更好得支持移动环境下的Communication, Collaboration and Coordination?

如果你有什么想法，欢迎讨论？鸡蛋或者板砖也是欢迎的。


更长远的，你的这个移动设备就是你的秘书，你的管家，你的司机，你的旅行代理，你的女朋友，你想怎么称呼她都可以，它甚至不是以设备的形式存在。它也不只是只有智能。当然，那是十年二十年之后的事情了。

那个时候的事情，我们可以尽管做梦。

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zz from CMS@Nkbbs

[好文!]理解矩阵(一) Tinner @ 2006-5-2 16:11

古人云:听君一席话,胜读十年书。今天无意看到这篇好文，不觉翻出尘封一年的线性代
数课本。对照之下，以前如同雾里看花的概念开始清晰起来。喜悦之余，决定转到我的
这个小博来。未得作者允许，权当收藏。转载地址：http://blog.csdn.net/myan/arch
ive/2006/04/02/647511.aspx。

向chensh致以我最崇高的敬意！

    前不久chensh出于不可告人的目的，要充当老师，教别人线性代数。于是我被揪住
就线性代数中一些务虚性的问题与他讨论了几次。很明显，chensh觉得，要让自己在讲
线性代数的时候不被那位强势的学生认为是神经病，还是比较难的事情。

可怜的chensh，谁让你趟这个地雷阵？！色令智昏啊！

线性代数课程，无论你从行列式入手还是直接从矩阵入手，从一开始就充斥着莫名其妙
。比如说，在全国一般工科院系教学中应用最广泛的同济线性代数教材（现在到了第四
版），一上来就介绍逆序数这个"前无古人，后无来者"的古怪概念，然后用逆序数给出
行列式的一个极不直观的定义，接着是一些简直犯傻的行列式性质和习题--把这行乘一
个系数加到另一行上，再把那一列减过来，折腾得那叫一个热闹，可就是压根看不出这
个东西有嘛用。大多数像我一样资质平庸的学生到这里就有点犯晕：连这是个什么东西
都模模糊糊的，就开始钻火圈表演了，这未免太"无厘头"了吧！于是开始有人逃课，更
多的人开始抄作业。这下就中招了，因为其后的发展可以用一句峰回路转来形容，紧跟
着这个无厘头的行列式的，是一个同样无厘头但是伟大的无以复加的家伙的出场--矩阵
来了！多年之后，我才明白，当老师犯傻似地用中括号把一堆傻了吧叽的数括起来，并
且不紧不慢地说："这个东西叫做矩阵"的时候，我的数学生涯掀开了何等悲壮辛酸、惨
绝人寰的一幕！自那以后，在几乎所有跟"学问"二字稍微沾点边的东西里，矩阵这个家
伙从不缺席。对于我这个没能一次搞定线性代数的笨蛋来说，矩阵老大的不请自来每每
搞得我灰头土脸，头破血流。长期以来，我在阅读中一见矩阵，就如同阿Q见到了假洋鬼
子，揉揉额角就绕道走。

事实上，我并不是特例。一般工科学生初学线性代数，通常都会感到困难。这种情形在
国内外皆然。瑞典数学家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中说："如
果不熟悉线性代数的概念，要去学习自然科学，现在看来就和文盲差不多。"，然而"按
照现行的国际标准，线性代数是通过公理化来表述的，它是第二代数学模型，...，这就
带来了教学上的困难。"事实上，当我们开始学习线性代数的时候，不知不觉就进入了"
第二代数学模型"的范畴当中，这意味着数学的表述方式和抽象性有了一次全面的进化，
对于从小一直在"第一代数学模型"，即以实用为导向的、具体的数学模型中学习的我们
来说，在没有并明确告知的情况下进行如此剧烈的paradigm shift，不感到困难才是奇
怪的。

大部分工科学生，往往是在学习了一些后继课程，如数值分析、数学规划、矩阵论之后
，才逐渐能够理解和熟练运用线性代数。即便如此，不少人即使能够很熟练地以线性代
数为工具进行科研和应用工作，但对于很多这门课程的初学者提出的、看上去是很基础
的问题却并不清楚。比如说：

* 矩阵究竟是什么东西？向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表
示，矩阵又是什么呢？我们如果认为矩阵是一组列（行）向量组成的新的复合向量的展
开式，那么为什么这种展开式具有如此广泛的应用？特别是，为什么偏偏二维的展开式
如此有用？如果矩阵中每一个元素又是一个向量，那么我们再展开一次，变成三维的立
方阵，是不是更有用？

* 矩阵的乘法规则究竟为什么这样规定？为什么这样一种怪异的乘法规则却能够在实践
中发挥如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相关的问题，最后竟然都归结到矩阵
的乘法，这难道不是很奇妙的事情？难道在矩阵乘法那看上去莫名其妙的规则下面，包
含着世界的某些本质规律？如果是的话，这些本质规律是什么？

* 行列式究竟是一个什么东西？为什么会有如此怪异的计算规则？行列式与其对应方阵
本质上是什么关系？为什么只有方阵才有对应的行列式，而一般矩阵就没有（不要觉得
这个问题很蠢，如果必要，针对m x n矩阵定义行列式不是做不到的，之所以不做，是因
为没有这个必要，但是为什么没有这个必要）？而且，行列式的计算规则，看上去跟矩
阵的任何计算规则都没有直观的联系，为什么又在很多方面决定了矩阵的性质？难道这
一切仅是巧合？

* 矩阵为什么可以分块计算？分块计算这件事情看上去是那么随意，为什么竟是可行的
？

* 对于矩阵转置运算AT，有(AB)T = BTAT，对于矩阵求逆运算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1
。两个看上去完全没有什么关系的运算，为什么有着类似的性质？这仅仅是巧合吗？

* 为什么说P-1AP得到的矩阵与A矩阵"相似"？这里的"相似"是什么意思？

* 特征值和特征向量的本质是什么？它们定义就让人很惊讶，因为Ax =λx，一个诺大的
矩阵的效应，竟然不过相当于一个小小的数λ，确实有点奇妙。但何至于用"特征"甚至
"本征"来界定？它们刻划的究竟是什么？

这样的一类问题，经常让使用线性代数已经很多年的人都感到为难。就好像大人面对小
孩子的刨根问底，最后总会迫不得已地说"就这样吧，到此为止"一样，面对这样的问题
，很多老手们最后也只能用："就是这么规定的，你接受并且记住就好"来搪塞。然而，
这样的问题如果不能获得回答，线性代数对于我们来说就是一个粗暴的、不讲道理的、
莫名其妙的规则集合，我们会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地"抛
到"一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙
、和谐与统一。直到多年以后，我们已经发觉这门学问如此的有用，却仍然会非常迷惑
：怎么这么凑巧？

我认为，这是我们的线性代数教学中直觉性丧失的后果。上述这些涉及到"如何能"、"怎
么会"的问题，仅仅通过纯粹的数学证明来回答，是不能令提问者满意的。比如，如果你
通过一般的证明方法论证了矩阵分块运算确实可行，那么这并不能够让提问者的疑惑得
到解决。他们真正的困惑是：矩阵分块运算为什么竟然是可行的？究竟只是凑巧，还是
说这是由矩阵这种对象的某种本质所必然决定的？如果是后者，那么矩阵的这些本质是
什么？只要对上述那些问题稍加考虑，我们就会发现，所有这些问题都不是单纯依靠数
学证明所能够解决的。像我们的教科书那样，凡事用数学证明，最后培养出来的学生，
只能熟练地使用工具，却欠缺真正意义上的理解。

自从1930年代法国布尔巴基学派兴起以来，数学的公理化、系统性描述已经获得巨大的
成功，这使得我们接受的数学教育在严谨性上大大提高。然而数学公理化的一个备受争
议的副作用，就是一般数学教育中直觉性的丧失。数学家们似乎认为直觉性与抽象性是
矛盾的，因此毫不犹豫地牺牲掉前者。然而包括我本人在内的很多人都对此表示怀疑，
我们不认为直觉性与抽象性一定相互矛盾，特别是在数学教育中和数学教材中，帮助学
生建立直觉，有助于它们理解那些抽象的概念，进而理解数学的本质。反之，如果一味
注重形式上的严格性，学生就好像被迫进行钻火圈表演的小白鼠一样，变成枯燥的规则
的奴隶。

对于线性代数的类似上述所提到的一些直觉性的问题，两年多来我断断续续地反复思考
了四、五次，为此阅读了好几本国内外线性代数、数值分析、代数和数学通论性书籍，
其中像前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚升教授的《线性代数五讲》
、前面提到的Encounter with Mathematics（《数学概观》）以及Thomas A. Garrity的
《数学拾遗》都给我很大的启发。不过即使如此，我对这个主题的认识也经历了好几次
自我否定。比如以前思考的一些结论曾经写在自己的blog里，但是现在看来，这些结论
基本上都是错误的。因此打算把自己现在的有关理解比较完整地记录下来，一方面是因
为我觉得现在的理解比较成熟了，可以拿出来与别人探讨，向别人请教。另一方面，如
果以后再有进一步的认识，把现在的理解给推翻了，那现在写的这个snapshot也是很有
意义的。

因为打算写得比较多，所以会分几次慢慢写。也不知道是不是有时间慢慢写完整，会不
会中断，写着看吧。

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今天先谈谈对线形空间和矩阵的几个核心概念的理解。这些东西大部分是凭着自己的理
解写出来的，基本上不抄书，可能有错误的地方，希望能够被指出。但我希望做到直觉
，也就是说能把数学背后说的实质问题说出来。

首先说说空间(space)，这个概念是现代数学的命根子之一，从拓扑空间开始，一步步往
上加定义，可以形成很多空间。线形空间其实还是比较初级的，如果在里面定义了范数
，就成了赋范线性空间。赋范线性空间满足完备性，就成了巴那赫空间；赋范线性空间
中定义角度，就有了内积空间，内积空间再满足完备性，就得到希尔伯特空间。

总之，空间有很多种。你要是去看某种空间的数学定义，大致都是"存在一个集合，在这
个集合上定义某某概念，然后满足某些性质"，就可以被称为空间。这未免有点奇怪，为
什么要用"空间"来称呼一些这样的集合呢？大家将会看到，其实这是很有道理的。

我们一般人最熟悉的空间，毫无疑问就是我们生活在其中的（按照牛顿的绝对时空观）
的三维空间，从数学上说，这是一个三维的欧几里德空间，我们先不管那么多，先看看
我们熟悉的这样一个空间有些什么最基本的特点。仔细想想我们就会知道，这个三维的
空间：1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成；2. 这些点之间存在相对的关系；
3. 可以在空间中定义长度、角度；4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是
从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的"连续"性的运动，

上面的这些性质中，最最关键的是第4条。第1、2条只能说是空间的基础，不算是空间特
有的性质，凡是讨论数学问题，都得有一个集合，大多数还得在这个集合上定义一些结
构（关系），并不是说有了这些就算是空间。而第3条太特殊，其他的空间不需要具备，
更不是关键的性质。只有第4条是空间的本质，也就是说，容纳运动是空间的本质特征。


认识到了这些，我们就可以把我们关于三维空间的认识扩展到其他的空间。事实上，不
管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。你会发现，
在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中
有线性变换，仿射空间中有仿射变换，其实这些变换都只不过是对应空间中允许的运动
形式而已。

因此只要知道，"空间"是容纳运动的一个对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。


下面我们来看看线性空间。线性空间的定义任何一本书上都有，但是既然我们承认线性
空间是个空间，那么有两个最基本的问题必须首先得到解决，那就是：

1. 空间是一个对象集合，线性空间也是空间，所以也是一个对象集合。那么线性空间是
什么样的对象的集合？或者说，线性空间中的对象有什么共同点吗？

2. 线性空间中的运动如何表述的？也就是，线性变换是如何表示的？

我们先来回答第一个问题，回答这个问题的时候其实是不用拐弯抹角的，可以直截了当
的给出答案。线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向
量的形式。通常的向量空间我就不说了，举两个不那么平凡的例子：

L1. 最高次项不大于n次的多项式的全体构成一个线性空间，也就是说，这个线性空间中
的每一个对象是一个多项式。如果我们以x0, x1, ..., xn为基，那么任何一个这样的多
项式都可以表达为一组n+1维向量，其中的每一个分量ai其实就是多项式中x(i-1)项的系
数。值得说明的是，基的选取有多种办法，只要所选取的那一组基线性无关就可以。这
要用到后面提到的概念了，所以这里先不说，提一下而已。

L2. 闭区间[a, b]上的n阶连续可微函数的全体，构成一个线性空间。也就是说，这个线
性空间的每一个对象是一个连续函数。对于其中任何一个连续函数，根据魏尔斯特拉斯
定理，一定可以找到最高次项不大于n的多项式函数，使之与该连续函数的差为0，也就
是说，完全相等。这样就把问题归结为L1了。后面就不用再重复了。

所以说，向量是很厉害的，只要你找到合适的基，用向量可以表示线性空间里任何一个
对象。这里头大有文章，因为向量表面上只是一列数，但是其实由于它的有序性，所以
除了这些数本身携带的信息之外，还可以在每个数的对应位置上携带信息。为什么在程
序设计中数组最简单，却又威力无穷呢？根本原因就在于此。这是另一个问题了，这里
就不说了。

下面来回答第二个问题，这个问题的回答会涉及到线性代数的一个最根本的问题。

线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意
的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。那么，线性变换如何表示呢？很有意
思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一
个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生
对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。

简而言之，在线性空间中选定基之后，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，用矩阵与
向量的乘法施加运动。

是的，矩阵的本质是运动的描述。如果以后有人问你矩阵是什么，那么你就可以响亮地
告诉他，矩阵的本质是运动的描述。（chensh，说你呢！）

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩阵吗？这实在是很奇妙，一个空
间中的对象和运动竟然可以用相类同的方式表示。能说这是巧合吗？如果是巧合的话，
那可真是幸运的巧合！可以说，线性代数中大多数奇妙的性质，均与这个巧合有直接的
关系。

理解矩阵（二）



接着理解矩阵。

上一篇里说"矩阵是运动的描述"，到现在为止，好像大家都还没什么意见。但是我相信
早晚会有数学系出身的网友来拍板转。因为运动这个概念，在数学和物理里是跟微积分
联系在一起的。我们学习微积分的时候，总会有人照本宣科地告诉你，初等数学是研究
常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。大家口
口相传，差不多人人都知道这句话。但是真知道这句话说的是什么意思的人，好像也不
多。简而言之，在我们人类的经验里，运动是一个连续过程，从A点到B点，就算走得最
快的光，也是需要一个时间来逐点地经过AB之间的路径，这就带来了连续性的概念。而
连续这个事情，如果不定义极限的概念，根本就解释不了。古希腊人的数学非常强，但
就是缺乏极限观念，所以解释不了运动，被芝诺的那些著名悖论（飞箭不动、飞毛腿阿
喀琉斯跑不过乌龟等四个悖论）搞得死去活来。因为这篇文章不是讲微积分的，所以我
就不多说了。有兴趣的读者可以去看看齐民友教授写的《重温微积分》。我就是读了这
本书开头的部分，才明白"高等数学是研究运动的数学"这句话的道理。

不过在我这个《理解矩阵》的文章里，"运动"的概念不是微积分中的连续性的运动，而
是瞬间发生的变化。比如这个时刻在A点，经过一个"运动"，一下子就"跃迁"到了B点，
其中不需要经过A点与B点之间的任何一个点。这样的"运动"，或者说"跃迁"，是违反我
们日常的经验的。不过了解一点量子物理常识的人，就会立刻指出，量子（例如电子）
在不同的能量级轨道上跳跃，就是瞬间发生的，具有这样一种跃迁行为。所以说，自然
界中并不是没有这种运动现象，只不过宏观上我们观察不到。但是不管怎么说，"运动"
这个词用在这里，还是容易产生歧义的，说得更确切些，应该是"跃迁"。因此这句话可
以改成：

"矩阵是线性空间里跃迁的描述"。

可是这样说又太物理，也就是说太具体，而不够数学，也就是说不够抽象。因此我们最
后换用一个正牌的数学术语--变换，来描述这个事情。这样一说，大家就应该明白了，
所谓变换，其实就是空间里从一个点（元素/对象）到另一个点（元素/对象）的跃迁。
比如说，拓扑变换，就是在拓扑空间里从一个点到另一个点的跃迁。再比如说，仿射变
换，就是在仿射空间里从一个点到另一个点的跃迁。附带说一下，这个仿射空间跟向量
空间是亲兄弟。做计算机图形学的朋友都知道，尽管描述一个三维对象只需要三维向量
，但所有的计算机图形学变换矩阵都是4 x 4的。说其原因，很多书上都写着"为了使用
中方便"，这在我看来简直就是企图蒙混过关。真正的原因，是因为在计算机图形学里应
用的图形变换，实际上是在仿射空间而不是向量空间中进行的。想想看，在向量空间里
相一个向量平行移动以后仍是相同的那个向量，而现实世界等长的两个平行线段当然不
能被认为同一个东西，所以计算机图形学的生存空间实际上是仿射空间。而仿射变换的
矩阵表示根本就是4 x 4的。又扯远了，有兴趣的读者可以去看《计算机图形学--几何工
具算法详解》。

一旦我们理解了"变换"这个概念，矩阵的定义就变成：

"矩阵是线性空间里的变换的描述。"

到这里为止，我们终于得到了一个看上去比较数学的定义。不过还要多说几句。教材上
一般是这么说的，在一个线性空间V里的一个线性变换T，当选定一组基之后，就可以表
示为矩阵。因此我们还要说清楚到底什么是线性变换，什么是基，什么叫选定一组基。
线性变换的定义是很简单的，设有一种变换T，使得对于线性空间V中间任何两个不相同
的对象x和y，以及任意实数a和b，有：

T(ax + by) = aT(x) + bT(y)，

那么就称T为线性变换。

定义都是这么写的，但是光看定义还得不到直觉的理解。线性变换究竟是一种什么样的
变换？我们刚才说了，变换是从空间的一个点跃迁到另一个点，而线性变换，就是从一
个线性空间V的某一个点跃迁到另一个线性空间W的另一个点的运动。这句话里蕴含着一
层意思，就是说一个点不仅可以变换到同一个线性空间中的另一个点，而且可以变换到
另一个线性空间中的另一个点去。不管你怎么变，只要变换前后都是线性空间中的对象
，这个变换就一定是线性变换，也就一定可以用一个非奇异矩阵来描述。而你用一个非
奇异矩阵去描述的一个变换，一定是一个线性变换。有的人可能要问，这里为什么要强
调非奇异矩阵？所谓非奇异，只对方阵有意义，那么非方阵的情况怎么样？这个说起来
就会比较冗长了，最后要把线性变换作为一种映射，并且讨论其映射性质，以及线性变
换的核与像等概念才能彻底讲清楚。我觉得这个不算是重点，如果确实有时间的话，以
后写一点。以下我们只探讨最常用、最有用的一种变换，就是在同一个线性空间之内的
线性变换。也就是说，下面所说的矩阵，不作说明的话，就是方阵，而且是非奇异方阵
。学习一门学问，最重要的是把握主干内容，迅速建立对于这门学问的整体概念，不必
一开始就考虑所有的细枝末节和特殊情况，自乱阵脚。

接着往下说，什么是基呢？这个问题在后面还要大讲一番，这里只要把基看成是线性空
间里的坐标系就可以了。注意是坐标系，不是坐标值，这两者可是一个"对立矛盾统一体
"。这样一来，"选定一组基"就是说在线性空间里选定一个坐标系。就这意思。

好，最后我们把矩阵的定义完善如下：

"矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，
那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。"

理解这句话的关键，在于把"线性变换"与"线性变换的一个描述"区别开。一个是那个对
象，一个是对那个对象的表述。就好像我们熟悉的面向对象编程中，一个对象可以有多
个引用，每个引用可以叫不同的名字，但都是指的同一个对象。如果还不形象，那就干
脆来个很俗的类比。

比如有一头猪，你打算给它拍照片，只要你给照相机选定了一个镜头位置，那么就可以
给这头猪拍一张照片。这个照片可以看成是这头猪的一个描述，但只是一个片面的的描
述，因为换一个镜头位置给这头猪拍照，能得到一张不同的照片，也是这头猪的另一个
片面的描述。所有这样照出来的照片都是这同一头猪的描述，但是又都不是这头猪本身
。

同样的，对于一个线性变换，只要你选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个
线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的
描述，但又都不是线性变换本身。

但是这样的话，问题就来了如果你给我两张猪的照片，我怎么知道这两张照片上的是同
一头猪呢？同样的，你给我两个矩阵，我怎么知道这两个矩阵是描述的同一个线性变换
呢？如果是同一个线性变换的不同的矩阵描述，那就是本家兄弟了，见面不认识，岂不
成了笑话。

好在，我们可以找到同一个线性变换的矩阵兄弟们的一个性质，那就是：

若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的
基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足
这样的关系：

A = P-1BP

线性代数稍微熟一点的读者一下就看出来，这就是相似矩阵的定义。没错，所谓相似矩
阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。按照这个定义，同一头猪的不同角度的照
片也可以成为相似照片。俗了一点，不过能让人明白。

而在上面式子里那个矩阵P，其实就是A矩阵所基于的基与B矩阵所基于的基这两组基之间
的一个变换关系。关于这个结论，可以用一种非常直觉的方法来证明（而不是一般教科
书上那种形式上的证明），如果有时间的话，我以后在blog里补充这个证明。

这个发现太重要了。原来一族相似矩阵都是同一个线性变换的描述啊！难怪这么重要！
工科研究生课程中有矩阵论、矩阵分析等课程，其中讲了各种各样的相似变换，比如什
么相似标准型，对角化之类的内容，都要求变换以后得到的那个矩阵与先前的那个矩阵
式相似的，为什么这么要求？因为只有这样要求，才能保证变换前后的两个矩阵是描述
同一个线性变换的。当然，同一个线性变换的不同矩阵描述，从实际运算性质来看并不
是不分好环的。有些描述矩阵就比其他的矩阵性质好得多。这很容易理解，同一头猪的
照片也有美丑之分嘛。所以矩阵的相似变换可以把一个比较丑的矩阵变成一个比较美的
矩阵，而保证这两个矩阵都是描述了同一个线性变换。

这样一来，矩阵作为线性变换描述的一面，基本上说清楚了。但是，事情没有那么简单
，或者说，线性代数还有比这更奇妙的性质，那就是，矩阵不仅可以作为线性变换的描
述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点
给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标
系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的
奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、
直觉。

这个留在下一篇再写吧。

因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。

Quote

给混合002

给混合002的全体成员 (请大家去这个连接下载吧！注意音乐要下到C:\Downloads目录，否则音乐无法和ppt一起播放！实在还是不能播放的话，就干脆开始看之前先在mediaplayer里面开始循环播放吧…… ^__^!）

 

Update: Panda申请了一个网盘，国内的从这里下应该会快很多吧： http://www.vdisk.cn/API/fileq.php?sid=1157484.1181673646.3406276

 

看了道人对一个老贴的回帖，颇有感触。说到大学同窗的情谊，可能002在混合班的9个班里，并不算最好的。对里面的每一个人，我也不是都熟悉。但是四年的生活，与我而言，对这个集体已经留下了很深厚的感情，即使有遗憾，这里的每一个人对我而言都有很特别的意义。以至时隔两年看到下面届的ddmm们的“散伙”篇，还是感慨万千，很久一段时间不敢回顾毕业那段时间的照片。

 

上面那个连接的ppt是在04年6月最后一次班搓前后开始做的，前前后后花了很久才做完，从背景音乐的挑选，到每一张照片，每一个animation，里面的投入的感情实在很多（光背景音乐就是花了3天听了盘上10个G的音乐选出来的）。即使是自己做出来的东西，每看一次都会湿一次眼眶。上面的每一个笑脸都写无数的回忆，还有很多很多的回忆没有记录在这个ppt里，但是却记录在了心底……曾经将它作为礼物刻盘送给挚友，但是我更希望能把它送到混合002的每一个成员手上，如果有时间给每一个成员都写上特别的回忆录……原谅我的懒惰，至今都没能完成这个愿望。现在借助blog，写给那些能看到我的blog的人，但是这份礼物，还是把它给大家分享吧——给混合002的全体成员！看不到的，也请看得到帮忙转发咯！

 

亲爱的饼子，你是我们班跟我最“亲”的人了，我们同床共枕过、吃过一个碗里的饭，在我记忆里几乎四年的每一天都是一起起床、一起刷牙洗脸、一起骑车去自修、一起吃饭、一起睡觉。不管干什么，我们总能有别人没有的默契。我们无话不说，互勉互助，以指正对方的缺点为铁姐们的证明和骄傲。我总喜欢胡乱的敲很多文字，你从来不曾给与什么评论，却静静的分享着我的喜乐，呵呵，大学四年估计除了男朋友没分享过，其他能分享的我们都分享过！：）我们谈感情，谈理想，谈一切鸡毛蒜皮的八卦，却很少表露对彼此的感情，对你那似乎太肉麻了……在我心里，你是一个直接又简单的人，对朋友好的死心塌地，对不喜欢的人却决然不会惺惺作态。而我最喜欢的也就是你的简单和直接，你的爱憎分明，不会像我那样sentimental，很多时候往往有感情却不敢表露。我觉得我们走到一起成为最好的朋友不是偶然，是我们彼此最微妙的互补与相似。：）

 

阿周，如果说饼子是我生活上最好的朋友，你便是我大学精神上最好的伙伴了。和饼子在一起总是开心的，和你在一起刚好相反，总是不开心的——因为我一不开心就会去找你！嗬嗬，我们在一起总是我说的多、你说得少。你的耐心和聆听给了我无数的安慰和支持，那些深奥的、哲学的、心理的问题几乎都是和你一路探讨过来的。记得吗？周国平是你推荐给我的！虽然我们平时见面的时间其实很少，你有你的足球、车队和一切一切我不曾了解的男生生活，但是你却让我感到whatever happens, you are always there for me， 所谓人生有一知己足矣，我想那就是友谊的真谛吧！

 

亲爱的薇薇，你能看到这段话的机会估计不大，但是还是想写给你。我们那么相像，特别在对待感情上，一心的付出、也很容易受到伤害，然后悄悄的把伤害留给自己。不同的是，你热情、热烈、直接，和你在一起真的不能不把你当作孩子来宠爱，你总爱问我为什么，仿佛你什么都不明白。其实我知道你比很多人都清楚自己的心想要什么。与你那份孩子气不符是你特有的给人关怀的能力，你的调皮、任性、勇敢和执著都是我无比羡慕的特质。如果说饼子给人的感觉是清冷而皎洁的明月，你给我的感觉就像炽热而耀眼的太阳。我真很庆幸能有你和明月作为我大学四年的室友！在你们这两个最女人的女人中间，我学会了找自己的位置。

 

林皓，我这么称呼你还真是别扭！因为大学四年你都一直是以一个好哥哥的身份在照顾着我，帮助我。你叫常常会用“长辈”才有的语气和我说话，编程编不好了会批评我，骑车横冲直撞了会批评我，太听信别人了又会批评我，不管我怎么装成熟，你似乎都熟视无睹，把我当作小孩子，让我永远“抬不起头”来……虽然心里常常会有小小的不服，也跟你闹过小脾气，可是就是因为有你这样朋友才让当了十几年姐姐的我有生以来有了当妹妹的那种被宠爱的感觉，真的很谢谢你！想你的时候，我会听你唱给我《我找你找了好久》！那是最不一样的朋友。

 

SWP，其实我好像从来没这么称呼过你吧？你是我大学一进来特别敬佩、简直是仰望的人，就是像《一吻定情》里面的博原崇一样：身材好、个子高，沉默寡言，却成绩好到爆，最关键的还觉得什么都特简单！（唯一不同的估计就是你的mm聪颖娴淑，女人到让女生都嫉妒，而电影里的博原崇就可怜了点……）就在我夜夜啃书到2点的时候，听说你每晚11点就要睡觉，真是不能不让人愤慨上天注定了“物有所属”“分工有不同”！自从大一问你题目发现不在一个级别上以后，印象中我就再没和你说过话……当然，直到大四的临近毕业，借着DV的拍摄和班搓，我们才有机会开始交谈，人生就是这么有意思，居然发现原来的你是这么羞涩木讷、平易可亲！遗憾的是，为什么早没发现呢？！

 

Sal, 估计和薇薇一样你也是最少可能会看到这段话的人，而且也是least care这种煽情语言的人……不过不管怎么说你也是当年大一我们7人组里的核心成员，参加过7人组的里的众多元老有着历史纪念意义的活动（包括我和我哥的大学第一次生日），虽然不是什么班干部，却参与组织过几乎所有的班级活动，所以和你的交情还是很不错的！仗着天生的身高，你总是看起来酷酷的，我印象最深的一句话是你自我剖白说：“每次我不说话，别人都觉得我深沉，其实我只是在发呆而已”，哈哈！不过，在你的深沉背后，我觉得你是个心细如尘的人，每次跟我说话都会低下头来仔细听（不像某人，每次跟他说话我都仰着头疼，咳咳，此人180），每次班级活动也是最服务大众的人之一，难怪大四的DV会选你做导演（还是你毛遂自荐的？）。说真的，虽然和你的风格绝然不同，但是我们能合作的这么愉快，你能把《四年》拍成这样，这不能不说是一种水平！也非常感谢你充分尊重我的原创，换做是另外一个导演，也许会更成功，但却不一定是我眼中的《四年》。

 

Archers，你是班上我最嫉妒的人！就在我每天喝水也能长满这一块那一块的肥肉的时候，你是唯一一个跑来问我怎么增肥的人！！！号称每天睡前吃泡面，且在我精心传授了所有肥胖法则并努力了半年以后还是一斤没胖！呜呼哀哉，气煞我也！听说现在当班主任了？你真的很像班主任哦，从你管理班级事务看来，就知道你也一定会是一个好的班主任！：）谢谢你把大四这年的班级活动弄得这么丰富多彩，让我有机会和平时没啥机会讲话的同学沟通！唯一的遗憾就是没有一张完整的全班合影……（panda又要红眼睛了……）

 

BurningDeath，嗬嗬，我一直没弄明白这是什么意思，就像你本人一样，来自武汉的阳光男孩，感觉特别有女生缘，却甚少和你交往。不过不同于很多其他的同学，你的开朗和亲和力，让我这样在朋友圈里比较安静人也感到很舒服，和你说起话来就像是老朋友一样！印象中你特别能搞笑，让你帮忙你也总是义不容辞！你学习语言的天赋也让我佩服不已，记得你在88上不时show你的新近粤语不？hoho, 其实每次我都没看明白，不是你说的不对，是我忘得太快，经你点醒我才能反映过来…… ^____^b

 

Horsejia也是和我在现实生活中接触不多说起话来却像老朋友的同学，这都要多亏了88，嗬嗬，谁要你是水王，我是水母呢！^o^ 每次我发贴，总有你的捧场，一来二去就熟起来咯！印象中的horsejia真的是很热心，虽然不是班干部，但是有什么班级活动总是参加得最积极的人之一，人特别nice，好像从来没拒绝人，呵呵！ ps: 你好久没来这里串门了咯~~ 最近在忙啥呢？：）

 

Xiatian，我对你的认识和panda对你的认识仿佛很不一样诶！虽然同在英语三级班，但你是我大学四年在班里说过的最少的话的人之一，记得有一次也是唯一的一次我们同桌，居然一节课我们都没能说三句话！或许我们四年总共都没说过10句话？但panda却说你挺能说的…… =____=b 不过，你的blog是我最喜欢看的blog之一（最近好像更新不勤啰），也是从那里，我才更多的了解到你。我想以后还会有更多的机会吧！：）

 

晓鸣mm是班上的大美女，印象特别深的是大一第一次见面的时候，我简直被迷住了，老忍不住偷看你，皮肤那个晶莹，眼睛那个大，身材那个好！^^! 现在看你的blog上尽是看着让人掉口水的菜，下得厨房上得厅堂，zhangwei娶到你真是幸福死了！悄悄告诉你一个小秘密(zhangwei好像不看我的blog的ho?)，当年我们寝室夜谈，zhangwei gg也被评为我们班最帅的gg之一哦（不能告诉他，否则他会得意翻掉）！^^ 你们真是双才双貌~~ 将来的bb也一定狂pp的说 \^-^/ 衷心祝你俩幸福一生！

 

其实，能看到这个blog的混合002同学，还有一个人没写，不过当友情上升到爱情的时候，再回味当初那段友情就变得不一样了。嘿嘿，不管怎么说，这个ppt也送给你，你也是大学四年中给我帮助最大的人之一，一个有点傻却很认真的好班长，一个平时或许想不起，但不论遇到什么困难都会第一时间想到请你帮忙的特殊朋友！^_^

 

总之，希望大家能喜欢这个ppt，看着它的时候也能同我一样感受到心中四年的情谊！